Trojúhelník 6 21 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 21
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 61,64441400297
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Úhel ∠ A = α = 14,78987097356° = 14°47'19″ = 0,2588111677 rad
Úhel ∠ B = β = 63,30327985505° = 63°18'10″ = 1,10548422604 rad
Úhel ∠ C = γ = 101,90884917139° = 101°54'31″ = 1,77986387161 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,54880466766
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,8710870479
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,36603600026

Těžnice: t_a = 21,81774242293
Těžnice: t_b = 13,12444047484
Těžnice: t_c = 10,3087764064

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,46657656012
Poloměr opsané kružnice: R = 11,75329419609

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[2,69656521739; 5,36603600026]
Těžiště: T[8,56552173913; 1,78767866675]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -2,42552102459]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,46657656012]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,21112902644° = 165°12'41″ = 0,2588111677 rad
∠ B' = β' = 116,69772014495° = 116°41'50″ = 1,10548422604 rad
∠ C' = γ' = 78,09215082861° = 78°5'29″ = 1,77986387161 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 21 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 21 + 23 = 50

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 6) (25 - 21) (25 - 23) S = 3800 = 61, 64

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{6} = 20, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{2 1} = 5, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{2 3} = 5, 36

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 3}) = 14 ° 4 7^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 3}) = 63 ° 1 8^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 4 7^{'} 19 " - 63 ° 1 8^{'} 10 " = 101 ° 5 4^{'} 31 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 1 , 6 4}{2 5} = 2, 47

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 2 1 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 4 6 6 \cdot 2 5} = 11, 75

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 21, 817 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 13, 124 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 10, 308

Vypočítat další trojúhelník