Trojúhelník 6 23 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 23
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 67,35498329619
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Úhel ∠ A = α = 13,54880233388° = 13°32'53″ = 0,23664576144 rad
Úhel ∠ B = β = 63,89661188627° = 63°53'46″ = 1,11551976534 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,55658577986° = 102°33'21″ = 1,79899373858 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,45499443206
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,85765072141
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,3887986637

Těžnice: t_a = 23,83327505756
Těžnice: t_b = 14,08801278403
Těžnice: t_c = 11,23661025271

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,49444382578
Poloměr opsané kružnice: R = 12,80662678416

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[2,64; 5,3887986637]
Těžiště: T[9,21333333333; 1,79659955457]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -2,78439712699]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,49444382578]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,45219766613° = 166°27'7″ = 0,23664576144 rad
∠ B' = β' = 116,10438811373° = 116°6'14″ = 1,11551976534 rad
∠ C' = γ' = 77,44441422014° = 77°26'39″ = 1,79899373858 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 23 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 23 + 25 = 54

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 6) (27 - 23) (27 - 25) S = 4536 = 67, 35

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 5}{6} = 22, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 5}{2 3} = 5, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 5}{2 5} = 5, 39

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 5}) = 13 ° 3 2^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 5}) = 63 ° 5 3^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 3 2^{'} 53 " - 63 ° 5 3^{'} 46 " = 102 ° 3 3^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 3 5}{2 7} = 2, 49

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 2 3 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 4 9 4 \cdot 2 7} = 12, 81

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 23, 833 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 14, 08 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 11, 236

Vypočítat další trojúhelník