Trojúhelník 6 23 27

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 23
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 55,4987747702
Obvod trojúhelníku: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28

Úhel ∠ A = α = 10,29661852424° = 10°17'46″ = 0,18797023329 rad
Úhel ∠ B = β = 43,24879853748° = 43°14'53″ = 0,75548197396 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,45658293828° = 126°27'21″ = 2,20770705811 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,4999249234
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,82658911045
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,11109442742

Těžnice: t_a = 24.9899799196
Těžnice: t_b = 15,81992920196
Těžnice: t_c = 10,01224921973

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,98220624179
Poloměr opsané kružnice: R = 16,784446493

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[4,37703703704; 4,11109442742]
Těžiště: T[10,45767901235; 1,37703147581]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; -9,9733377712]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,98220624179]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,70438147576° = 169°42'14″ = 0,18797023329 rad
∠ B' = β' = 136,75220146252° = 136°45'7″ = 0,75548197396 rad
∠ C' = γ' = 53,54441706172° = 53°32'39″ = 2,20770705811 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 23 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 23 + 27 = 56

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 6}{2} = 28

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28 (28 - 6) (28 - 23) (28 - 27) S = 3080 = 55, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5}{6} = 18, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5}{2 3} = 4, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5}{2 7} = 4, 11

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 7}) = 10 ° 1 7^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 2 7}) = 43 ° 1 4^{'} 53 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 1 7^{'} 46 " - 43 ° 1 4^{'} 53 " = 126 ° 2 7^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 5}{2 8} = 1, 98

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 2 3 \cdot 2 7}{4 \cdot 1 , 9 8 2 \cdot 2 8} = 16, 78

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 24, 9 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 15, 819 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 10, 012

Vypočítat další trojúhelník