Trojúhelník 6 30 30
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 6
b = 30
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 89,54988693396
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Úhel ∠ A = α = 11,47883409545° = 11°28'42″ = 0.22003348423 rad
Úhel ∠ B = β = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 29,85496231132
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,97699246226
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,97699246226
Těžnice: ta = 29,85496231132
Těžnice: tb = 15,58884572681
Těžnice: tc = 15,58884572681
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,71436021012
Poloměr opsané kružnice: R = 15,07655672289
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[0,6; 5,97699246226]
Těžiště: T[10,2; 1,99899748742]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 1,50875567229]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 2,71436021012]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,52216590455° = 168°31'18″ = 0.22003348423 rad
∠ B' = β' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=30 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+30+30=66
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−6)(33−30)(33−30) S=8019=89,55
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 89,55=29,85 vb=b2 S=302⋅ 89,55=5,97 vc=c2 S=302⋅ 89,55=5,97
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 30302+302−62)=11°28′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 3062+302−302)=84°15′39" γ=180°−α−β=180°−11°28′42"−84°15′39"=84°15′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=3389,55=2,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,714⋅ 336⋅ 30⋅ 30=15,08
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 302−62=29,85 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 62−302=15,588 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 302−302=15,588
Vypočítat další trojúhelník