Trojúhelník 6 9 10
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 9 c = 10Obsah trojúhelníku: S = 26,66334112596
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Úhel ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,94435552214° = 80°56'37″ = 1,41327315469 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,88878037532
Výška trojúhelníku: vb = 5,92552025021
Výška trojúhelníku: vc = 5,33326822519
Těžnice: ta = 9,02877350426
Těžnice: tb = 6,91101374805
Těžnice: tc = 5,78879184514
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,13330729008
Poloměr opsané kružnice: R = 5,06331180941
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[2,75; 5,33326822519]
Těžiště: T[4,25; 1,77875607506]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,79769722926]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,13330729008]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 99,05664447786° = 99°3'23″ = 1,41327315469 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=9 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+9+10=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−6)(12,5−9)(12,5−10) S=710,94=26,66
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 26,66=8,89 vb=b2 S=92⋅ 26,66=5,93 vc=c2 S=102⋅ 26,66=5,33
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−62)=36°20′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1062+102−92)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−36°20′10"−62°43′13"=80°56′37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,526,66=2,13
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,133⋅ 12,56⋅ 9⋅ 10=5,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 102−62=9,028 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 62−92=6,91 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 92−102=5,788
Vypočítat další trojúhelník