Trojúhelník 6 9 10




Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 9
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 26,66334112596
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Úhel ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,94435552214° = 80°56'37″ = 1,41327315469 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,88878037532
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,92552025021
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,33326822519

Těžnice: ta = 9,02877350426
Těžnice: tb = 6,91101374805
Těžnice: tc = 5,78879184514

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,13330729008
Poloměr opsané kružnice: R = 5,06331180941

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[2,75; 5,33326822519]
Těžiště: T[4,25; 1,77875607506]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,79769722926]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,13330729008]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 99,05664447786° = 99°3'23″ = 1,41327315469 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=9 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=6+9+10=25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=252=12,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 25 }{ 2 } = 12{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−6)(12,5−9)(12,5−10) S=12,5⋅ 6,5⋅ 3,5⋅ 2,5 S=710,94=26,663S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5(12{,}5-6)(12{,}5-9)(12{,}5-10) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5 \cdot \ 6{,}5 \cdot \ 3{,}5 \cdot \ 2{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 710{,}94 } = 26{,}663

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 26,6636=8,888 vb=2 Sb=2⋅ 26,6639=5,925 vc=2 Sc=2⋅ 26,66310=5,333S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 26{,}663 }{ 6 } = 8{,}888 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 26{,}663 }{ 9 } = 5{,}925 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 26{,}663 }{ 10 } = 5{,}333

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−62​)=36°20′10"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 6⋅ 1062+102−92​)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−36°20′10"−62°43′13"=80°56′37"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=26,66312,5=2,133S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 26{,}663 }{ 12{,}5 } = 2{,}133

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=6⋅ 9⋅ 104⋅ 2,133⋅ 12,5=5,063R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 6 \cdot \ 9 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 2{,}133 \cdot \ 12{,}5 } = 5{,}063

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 92+2⋅ 102−622=9,028 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 62−922=6,91 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 62+2⋅ 92−1022=5,788t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 10^2 - 6^2 } }{ 2 } = 9{,}028 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 6^2 - 9^2 } }{ 2 } = 6{,}91 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 9^2 - 10^2 } }{ 2 } = 5{,}788

Vypočítat další trojúhelník