Trojúhelník 6 9 13




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 9
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 23,66443191324
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 23,86109433465° = 23°51'39″ = 0,4166452024 rad
Úhel ∠ B = β = 37,35768519729° = 37°21'25″ = 0,65220000651 rad
Úhel ∠ C = γ = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 2,07331405645 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,88881063775
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,2598737585
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,64106644819

Těžnice: ta = 10,77703296143
Těžnice: tb = 9,06991785736
Těžnice: tc = 4,03111288741

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,69903085095
Poloměr opsané kružnice: R = 7,41662285852

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[4,76992307692; 3,64106644819]
Těžiště: T[5,92330769231; 1,21435548273]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -3,57107767262]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,69903085095]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,13990566535° = 156°8'21″ = 0,4166452024 rad
∠ B' = β' = 142,64331480271° = 142°38'35″ = 0,65220000651 rad
∠ C' = γ' = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 2,07331405645 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=9 c=13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=6+9+13=28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o​=228​=14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−6)(14−9)(14−13) S=14⋅ 8⋅ 5⋅ 1 S=560=23,664S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14(14-6)(14-9)(14-13) } \ \\ S = \sqrt{ 14 \cdot \ 8 \cdot \ 5 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 560 } = 23{,}664

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 23,6646=7,888 vb=2 Sb=2⋅ 23,6649=5,259 vc=2 Sc=2⋅ 23,66413=3,641S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 23{,}664 }{ 6 } = 7{,}888 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 23{,}664 }{ 9 } = 5{,}259 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 23{,}664 }{ 13 } = 3{,}641

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 9⋅ 1392+132−62​)=23°51′39"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 6⋅ 1362+132−92​)=37°21′25" γ=180°−α−β=180°−23°51′39"−37°21′25"=118°46′56"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=23,66414=1,69S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 23{,}664 }{ 14 } = 1{,}69

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=6⋅ 9⋅ 134⋅ 1,69⋅ 14=7,416R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 6 \cdot \ 9 \cdot \ 13 }{ 4 \cdot \ 1{,}69 \cdot \ 14 } = 7{,}416

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 92+2⋅ 132−622=10,77 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 132+2⋅ 62−922=9,069 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 62+2⋅ 92−1322=4,031t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 13^2 - 6^2 } }{ 2 } = 10{,}77 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 13^2+2 \cdot \ 6^2 - 9^2 } }{ 2 } = 9{,}069 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 9^2 - 13^2 } }{ 2 } = 4{,}031

Vypočítat další trojúhelník