Trojúhelník 6 9 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 9 c = 13Obsah trojúhelníku: S = 23,66443191324
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Úhel ∠ A = α = 23,86109433465° = 23°51'39″ = 0,4166452024 rad
Úhel ∠ B = β = 37,35768519729° = 37°21'25″ = 0,65220000651 rad
Úhel ∠ C = γ = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 2,07331405645 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,88881063775
Výška trojúhelníku: vb = 5,2598737585
Výška trojúhelníku: vc = 3,64106644819
Těžnice: ta = 10,77703296143
Těžnice: tb = 9,06991785736
Těžnice: tc = 4,03111288741
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,69903085095
Poloměr opsané kružnice: R = 7,41662285852
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[4,76992307692; 3,64106644819]
Těžiště: T[5,92330769231; 1,21435548273]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -3,57107767262]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,69903085095]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,13990566535° = 156°8'21″ = 0,4166452024 rad
∠ B' = β' = 142,64331480271° = 142°38'35″ = 0,65220000651 rad
∠ C' = γ' = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 2,07331405645 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=9 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+9+13=28
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−6)(14−9)(14−13) S=560=23,66
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 23,66=7,89 vb=b2 S=92⋅ 23,66=5,26 vc=c2 S=132⋅ 23,66=3,64
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1392+132−62)=23°51′39" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1362+132−92)=37°21′25" γ=180°−α−β=180°−23°51′39"−37°21′25"=118°46′56"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1423,66=1,69
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,69⋅ 146⋅ 9⋅ 13=7,42
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 132−62=10,77 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 62−92=9,069 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 92−132=4,031
Vypočítat další trojúhelník