Trojúhelník 7 10 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 10
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 34,64110161514
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Úhel ∠ B = β = 49,58325617943° = 49°34'57″ = 0,86553789549 rad
Úhel ∠ C = γ = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,71441438957 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,89774331861
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,92882032303
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,32993871002

Těžnice: t_a = 11,05766721937
Těžnice: t_b = 9,16551513899
Těžnice: t_c = 5,67989083458

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,30994010768
Poloměr opsané kružnice: R = 6,5677359312

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[4,53884615385; 5,32993871002]
Těžiště: T[5,84661538462; 1,77664623667]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -0,93881941874]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,30994010768]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 130,41774382057° = 130°25'3″ = 0,86553789549 rad
∠ C' = γ' = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,71441438957 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 10 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 10 + 13 = 30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 7) (15 - 10) (15 - 13) S = 1200 = 34, 64

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 6 4}{7} = 9, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 6 4}{1 0} = 6, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 6 4}{1 3} = 5, 33

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 3}) = 32 ° 1 2^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 3}) = 49 ° 3 4^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 1 2^{'} 15 " - 49 ° 3 4^{'} 57 " = 98 ° 1 2^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 6 4}{1 5} = 2, 31

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 3 0 9 \cdot 1 5} = 6, 57

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 11, 057 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 9, 165 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 679

Vypočítat další trojúhelník