Trojúhelník 7 10 14
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 10
c = 14
Obsah trojúhelníku: S = 32,96987351896
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Úhel ∠ A = α = 28,09880547134° = 28°5'53″ = 0,49904035682 rad
Úhel ∠ B = β = 42,28659661512° = 42°17'9″ = 0,73880293367 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,61659791354° = 109°36'58″ = 1,91331597487 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,42196386256
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,59437470379
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,71098193128
Těžnice: ta = 11,65111801977
Těžnice: tb = 9,87442088291
Těžnice: tc = 5,05497524692
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,12770151735
Poloměr opsané kružnice: R = 7,43112829592
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[5,17985714286; 4,71098193128]
Těžiště: T[6,39328571429; 1,57699397709]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -2,49547878506]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,12770151735]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,90219452866° = 151°54'7″ = 0,49904035682 rad
∠ B' = β' = 137,71440338488° = 137°42'51″ = 0,73880293367 rad
∠ C' = γ' = 70,38440208646° = 70°23'2″ = 1,91331597487 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=10 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+10+14=31
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−7)(15,5−10)(15,5−14) S=1086,94=32,97
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 32,97=9,42 vb=b2 S=102⋅ 32,97=6,59 vc=c2 S=142⋅ 32,97=4,71
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14102+142−72)=28°5′53" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1472+142−102)=42°17′9" γ=180°−α−β=180°−28°5′53"−42°17′9"=109°36′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=15,532,97=2,13
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,127⋅ 15,57⋅ 10⋅ 14=7,43
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 142−72=11,651 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 72−102=9,874 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−142=5,05
Vypočítat další trojúhelník