Trojúhelník 7 10 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 10
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 29,39438769134
Obvod trojúhelníku: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Úhel ∠ A = α = 23,07439180656° = 23°4'26″ = 0,40327158416 rad
Úhel ∠ B = β = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Úhel ∠ C = γ = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 2,14546317793 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,39882505467
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,87987753827
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,91991835885
Těžnice: ta = 12,25876506721
Těžnice: tb = 10,58330052443
Těžnice: tc = 4,27220018727
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,83771173071
Poloměr opsané kružnice: R = 8,93304313539
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5,8; 3,91991835885]
Těžiště: T[6,93333333333; 1,30663945295]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -4,84879484493]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 1,83771173071]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,92660819344° = 156°55'34″ = 0,40327158416 rad
∠ B' = β' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ C' = γ' = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 2,14546317793 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=10 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+10+15=32
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−7)(16−10)(16−15) S=864=29,39
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 29,39=8,4 vb=b2 S=102⋅ 29,39=5,88 vc=c2 S=152⋅ 29,39=3,92
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−72)=23°4′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1572+152−102)=34°2′52" γ=180°−α−β=180°−23°4′26"−34°2′52"=122°52′42"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1629,39=1,84
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,837⋅ 167⋅ 10⋅ 15=8,93
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 152−72=12,258 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 72−102=10,583 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−152=4,272
Vypočítat další trojúhelník