Trojúhelník 7 10 16
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 10
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 22,57107221861
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Úhel ∠ A = α = 16,38876115035° = 16°23'15″ = 0,28660177773 rad
Úhel ∠ B = β = 23,76989007051° = 23°46'8″ = 0,41548455769 rad
Úhel ∠ C = γ = 139,84334877914° = 139°50'37″ = 2,44107292994 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,44987777674
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,51441444372
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,82113402733
Těžnice: ta = 12,87443931896
Těžnice: tb = 11,29215897906
Těžnice: tc = 3,24403703492
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,36879225567
Poloměr opsané kružnice: R = 12,40554515266
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[6,406625; 2,82113402733]
Těžiště: T[7,469875; 0,94404467578]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -9,48113093811]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,36879225567]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,61223884965° = 163°36'45″ = 0,28660177773 rad
∠ B' = β' = 156,23110992949° = 156°13'52″ = 0,41548455769 rad
∠ C' = γ' = 40,15765122086° = 40°9'23″ = 2,44107292994 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=10 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+10+16=33
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−7)(16,5−10)(16,5−16) S=509,44=22,57
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 22,57=6,45 vb=b2 S=102⋅ 22,57=4,51 vc=c2 S=162⋅ 22,57=2,82
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 16102+162−72)=16°23′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1672+162−102)=23°46′8" γ=180°−α−β=180°−16°23′15"−23°46′8"=139°50′37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=16,522,57=1,37
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,368⋅ 16,57⋅ 10⋅ 16=12,41
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 162−72=12,874 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 72−102=11,292 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 102−162=3,24
Vypočítat další trojúhelník