Trojúhelník 7 11 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 11
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 37,9477331922
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Úhel ∠ B = β = 64,62330664748° = 64°37'23″ = 1,12878852827 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,28801322976° = 80°16'48″ = 1,40111526325 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,84220948349
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6.98995148949
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,32545553203

Těžnice: t_a = 10,96658560997
Těžnice: t_b = 8,1399410298
Těžnice: t_c = 7

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,53298221281
Poloměr opsané kružnice: R = 6,08773844958

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3; 6,32545553203]
Těžiště: T[5; 2,10881851068]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 1,02877402396]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,53298221281]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ B' = β' = 115,37769335252° = 115°22'37″ = 1,12878852827 rad
∠ C' = γ' = 99,72198677024° = 99°43'12″ = 1,40111526325 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 11 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 11 + 12 = 30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 7) (15 - 11) (15 - 12) S = 1440 = 37, 95

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 9 5}{7} = 10, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 9 5}{1 1} = 6, 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 9 5}{1 2} = 6, 32

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 35 ° 5^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 2}) = 64 ° 3 7^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5^{'} 48 " - 64 ° 3 7^{'} 23 " = 80 ° 1 6^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 9 5}{1 5} = 2, 53

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 2 , 5 3 \cdot 1 5} = 6, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 10, 966 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 8, 139 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7

Vypočítat další trojúhelník