Trojúhelník 7 11 13
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 11
c = 13
Obsah trojúhelníku: S = 38,49991883031
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Úhel ∠ A = α = 32,57881984923° = 32°34'42″ = 0,56985968281 rad
Úhel ∠ B = β = 57,79438546387° = 57°47'38″ = 1,00986930509 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,6287946869° = 89°37'41″ = 1,56443027747 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 110,9997680866
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 76,9998524188
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,92329520466
Těžnice: ta = 11,52217186218
Těžnice: tb = 8,87441196746
Těžnice: tc = 6,53883484153
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,48438186002
Poloměr opsané kružnice: R = 6.55001370426
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[3,73107692308; 5,92329520466]
Těžiště: T[5,57769230769; 1,97443173489]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 0,04222086821]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,48438186002]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,42218015077° = 147°25'18″ = 0,56985968281 rad
∠ B' = β' = 122,20661453613° = 122°12'22″ = 1,00986930509 rad
∠ C' = γ' = 90,3722053131° = 90°22'19″ = 1,56443027747 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=11 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+11+13=31
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−7)(15,5−11)(15,5−13) S=1482,19=38,5
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 38,5=11 vb=b2 S=112⋅ 38,5=7 vc=c2 S=132⋅ 38,5=5,92
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−72)=32°34′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1372+132−112)=57°47′38" γ=180°−α−β=180°−32°34′42"−57°47′38"=89°37′41"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=15,538,5=2,48
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,484⋅ 15,57⋅ 11⋅ 13=6,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 132−72=11,522 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 72−112=8,874 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 112−132=6,538
Vypočítat další trojúhelník