Trojúhelník 7 11 15

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 11
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 35,96109162842
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Úhel ∠ A = α = 25,84219327632° = 25°50'31″ = 0,45110268118 rad
Úhel ∠ B = β = 43,23332348092° = 43°14' = 0,75545622937 rad
Úhel ∠ C = γ = 110,92548324276° = 110°55'29″ = 1,93660035481 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,27545475098
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,53883484153
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,79547888379

Těžnice: t_a = 12,67987223331
Těžnice: t_b = 10,33219891599
Těžnice: t_c = 5,36219026474

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,17994494718
Poloměr opsané kružnice: R = 8,03295506855

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5,1; 4,79547888379]
Těžiště: T[6,7; 1,5988262946]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -2,86876966734]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,17994494718]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,15880672368° = 154°9'29″ = 0,45110268118 rad
∠ B' = β' = 136,76767651908° = 136°46' = 0,75545622937 rad
∠ C' = γ' = 69,07551675724° = 69°4'31″ = 1,93660035481 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 11 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 11 + 15 = 33

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 7) (16, 5 - 11) (16, 5 - 15) S = 1293, 19 = 35, 96

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 9 6}{7} = 10, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 9 6}{1 1} = 6, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 9 6}{1 5} = 4, 79

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 5}) = 25 ° 5 0^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5}) = 43 ° 1 4^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 5 0^{'} 31 " - 43 ° 1 4^{'} = 110 ° 5 5^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 9 6}{1 6 , 5} = 2, 18

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 1 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 1 7 9 \cdot 1 6 , 5} = 8, 03

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 12, 679 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 332 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 5, 362

Vypočítat další trojúhelník