Trojúhelník 7 11 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 11
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 24,43774200766
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Úhel ∠ A = α = 15,15109401512° = 15°9'3″ = 0,26444337904 rad
Úhel ∠ B = β = 24,25496286025° = 24°14'59″ = 0,42332358615 rad
Úhel ∠ C = γ = 140,59994312463° = 140°35'58″ = 2,45439230017 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,98221200219
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,44331672867
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,87549905972

Těžnice: t_a = 13,88334433769
Těžnice: t_b = 11,77992189894
Těžnice: t_c = 3,57107142143

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,39664240044
Poloměr opsané kružnice: R = 13,39113481445

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[6,38223529412; 2,87549905972]
Těžiště: T[7,79441176471; 0,95883301991]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -10,34878599299]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,39664240044]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,84990598488° = 164°50'57″ = 0,26444337904 rad
∠ B' = β' = 155,75503713975° = 155°45'1″ = 0,42332358615 rad
∠ C' = γ' = 39,40105687537° = 39°24'2″ = 2,45439230017 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 11 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 11 + 17 = 35

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 7) (17, 5 - 11) (17, 5 - 17) S = 597, 19 = 24, 44

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 4 4}{7} = 6, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 4 4}{1 1} = 4, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 4 4}{1 7} = 2, 87

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 7}) = 15 ° 9^{'} 3 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 7}) = 24 ° 1 4^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 9^{'} 3 " - 24 ° 1 4^{'} 59 " = 140 ° 3 5^{'} 58 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 4 4}{1 7 , 5} = 1, 4

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 1 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 3 9 6 \cdot 1 7 , 5} = 13, 39

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 13, 883 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 11, 779 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 3, 571

Vypočítat další trojúhelník