Trojúhelník 7 12 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 12
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 41,23110562562
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Úhel ∠ A = α = 27,26660444507° = 27°15'58″ = 0,47658822497 rad
Úhel ∠ B = β = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 0,90332668822 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,98105754276° = 100°58'50″ = 1,76224435218 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,78803017875
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,87218427094
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,49774741675
Těžnice: ta = 13,12444047484
Těžnice: tb = 10,05498756211
Těžnice: tc = 6,34442887702
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,42553562504
Poloměr opsané kružnice: R = 7,64398721886
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4,33333333333; 5,49774741675]
Těžiště: T[6,44444444444; 1,83224913892]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -1,45552137502]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,42553562504]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 152,73439555493° = 152°44'2″ = 0,47658822497 rad
∠ B' = β' = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 0,90332668822 rad
∠ C' = γ' = 79,01994245724° = 79°1'10″ = 1,76224435218 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=12 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+12+15=34
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−7)(17−12)(17−15) S=1700=41,23
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 41,23=11,78 vb=b2 S=122⋅ 41,23=6,87 vc=c2 S=152⋅ 41,23=5,5
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−72)=27°15′58" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1572+152−122)=51°45′12" γ=180°−α−β=180°−27°15′58"−51°45′12"=100°58′50"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1741,23=2,43
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,425⋅ 177⋅ 12⋅ 15=7,64
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−72=13,124 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 72−122=10,05 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−152=6,344
Vypočítat další trojúhelník