Trojúhelník 7 12 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 12
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 34,46773758792
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Úhel ∠ A = α = 19,75499227956° = 19°45' = 0,34547011798 rad
Úhel ∠ B = β = 35.44001726253° = 35°24'1″ = 0,61878495681 rad
Úhel ∠ C = γ = 124,85499045791° = 124°51' = 2,17990419057 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,84878216798
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,74545626465
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,05549853976

Těžnice: t_a = 14,2921605928
Těžnice: t_b = 11,53325625947
Těžnice: t_c = 4,92444289009

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,91548542155
Poloměr opsané kružnice: R = 10,35876205294

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[5,70658823529; 4,05549853976]
Těžiště: T[7,5698627451; 1,35216617992]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -5,91986403025]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 1,91548542155]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,25500772044° = 160°15' = 0,34547011798 rad
∠ B' = β' = 144.65998273747° = 144°35'59″ = 0,61878495681 rad
∠ C' = γ' = 55,1550095421° = 55°9' = 2,17990419057 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 12 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 12 + 17 = 36

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6}{2} = 18

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18 (18 - 7) (18 - 12) (18 - 17) S = 1188 = 34, 47

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 4 7}{7} = 9, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 4 7}{1 2} = 5, 74 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 4 7}{1 7} = 4, 05

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 7}) = 19 ° 4 5^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 7}) = 35 ° 2 4^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 4 5^{'} - 35 ° 2 4^{'} 1 " = 124 ° 5 1^{'}

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 4 7}{1 8} = 1, 91

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 2 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 9 1 5 \cdot 1 8} = 10, 36

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 14, 292 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 11, 533 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 4, 924

Vypočítat další trojúhelník