Trojúhelník 7 12 18
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 12
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 26,29551991816
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Úhel ∠ A = α = 14,09216737232° = 14°5'30″ = 0,24659461036 rad
Úhel ∠ B = β = 24,67695454829° = 24°40'10″ = 0,43105647936 rad
Úhel ∠ C = γ = 141,23987807939° = 141°14'20″ = 2,46550817564 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,51329140519
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,38325331969
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,9221688798
Těžnice: ta = 14,89112726118
Těžnice: tb = 12,26878441464
Těžnice: tc = 3,9377003937
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,42113621179
Poloměr opsané kružnice: R = 14,37552476408
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[6,36111111111; 2,9221688798]
Těžiště: T[8,12203703704; 0,9743896266]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -11,20992704818]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,42113621179]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,90883262768° = 165°54'30″ = 0,24659461036 rad
∠ B' = β' = 155,33304545171° = 155°19'50″ = 0,43105647936 rad
∠ C' = γ' = 38,76112192061° = 38°45'40″ = 2,46550817564 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=12 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+12+18=37
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−7)(18,5−12)(18,5−18) S=691,44=26,3
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 26,3=7,51 vb=b2 S=122⋅ 26,3=4,38 vc=c2 S=182⋅ 26,3=2,92
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 18122+182−72)=14°5′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1872+182−122)=24°40′10" γ=180°−α−β=180°−14°5′30"−24°40′10"=141°14′20"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=18,526,3=1,42
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,421⋅ 18,57⋅ 12⋅ 18=14,38
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 182−72=14,891 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 72−122=12,268 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 122−182=3,937
Vypočítat další trojúhelník