Trojúhelník 7 13 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 13
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 41,89549579305
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Úhel ∠ A = α = 22,28804156887° = 22°16'50″ = 0,38988666125 rad
Úhel ∠ B = β = 44,75882470547° = 44°45'30″ = 0,78111787785 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,96113372566° = 112°57'41″ = 1,97215472626 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,97699879801
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,44553781432
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,92988185801

Těžnice: t_a = 14,72224318643
Těžnice: t_b = 11,25883302492
Těžnice: t_c = 6,06221778265

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,26545923206
Poloměr opsané kružnice: R = 9,23114211329

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[4,97105882353; 4,92988185801]
Těžiště: T[7,32435294118; 1,64329395267]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -3,60112686837]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,26545923206]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,72195843113° = 157°43'10″ = 0,38988666125 rad
∠ B' = β' = 135,24217529453° = 135°14'30″ = 0,78111787785 rad
∠ C' = γ' = 67,03986627434° = 67°2'19″ = 1,97215472626 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 13 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 13 + 17 = 37

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7}{2} = 18, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 5 (18, 5 - 7) (18, 5 - 13) (18, 5 - 17) S = 1755, 19 = 41, 89

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 8 9}{7} = 11, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 8 9}{1 3} = 6, 45 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 8 9}{1 7} = 4, 93

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 7}) = 22 ° 1 6^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 7}) = 44 ° 4 5^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 6^{'} 50 " - 44 ° 4 5^{'} 30 " = 112 ° 5 7^{'} 41 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 8 9}{1 8 , 5} = 2, 26

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 3 \cdot 1 7}{4 \cdot 2 , 2 6 5 \cdot 1 8 , 5} = 9, 23

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 14, 722 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 258 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 6, 062

Vypočítat další trojúhelník