Trojúhelník 7 14 14
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 14
c = 14
Obsah trojúhelníku: S = 47,4444045991
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,55554417117
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,77877208559
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,77877208559
Těžnice: ta = 13,55554417117
Těžnice: tb = 8,57332140997
Těžnice: tc = 8,57332140997
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,71110883423
Poloměr opsané kružnice: R = 7,23295689129
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[1,75; 6,77877208559]
Těžiště: T[5,25; 2,25992402853]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; 1,80773922282]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,71110883423]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=14 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+14+14=35
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−7)(17,5−14)(17,5−14) S=2250,94=47,44
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 47,44=13,56 vb=b2 S=142⋅ 47,44=6,78 vc=c2 S=142⋅ 47,44=6,78
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 14142+142−72)=28°57′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1472+142−142)=75°31′21" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−75°31′21"=75°31′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,547,44=2,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,711⋅ 17,57⋅ 14⋅ 14=7,23
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 142−72=13,555 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 72−142=8,573 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 142−142=8,573
Vypočítat další trojúhelník