Trojúhelník 7 14 16

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 14
c = 16

Obsah trojúhelníku: S = 48,92327707719
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Úhel ∠ A = α = 25,90105519005° = 25°54'2″ = 0,45220499087 rad
Úhel ∠ B = β = 60,88221782058° = 60°52'56″ = 1,06325944655 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,21772698937° = 93°13'2″ = 1,62769482794 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,97879345063
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,98989672531
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,11553463465

Těžnice: t_a = 14,62201915172
Těžnice: t_b = 10,17334949747
Těžnice: t_c = 7,64985292704

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,64444740958
Poloměr opsané kružnice: R = 8,01326287578

Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[3,406625; 6,11553463465]
Těžiště: T[6,469875; 2,03884487822]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -0,45496883487]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,64444740958]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,09994480995° = 154°5'58″ = 0,45220499087 rad
∠ B' = β' = 119,11878217942° = 119°7'4″ = 1,06325944655 rad
∠ C' = γ' = 86,78327301063° = 86°46'58″ = 1,62769482794 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 14 c = 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 14 + 16 = 37

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7}{2} = 18, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 5 (18, 5 - 7) (18, 5 - 14) (18, 5 - 16) S = 2393, 44 = 48, 92

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8 , 9 2}{7} = 13, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8 , 9 2}{1 4} = 6, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8 , 9 2}{1 6} = 6, 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 6}) = 25 ° 5 4^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 6}) = 60 ° 5 2^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 5 4^{'} 2 " - 60 ° 5 2^{'} 56 " = 93 ° 1 3^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8 , 9 2}{1 8 , 5} = 2, 64

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 4 \cdot 1 6}{4 \cdot 2 , 6 4 4 \cdot 1 8 , 5} = 8, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 14, 62 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 173 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 7, 649

Vypočítat další trojúhelník