Trojúhelník 7 15 19

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 15
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 47,78327113086
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Úhel ∠ A = α = 19,59218322609° = 19°35'31″ = 0,34219419795 rad
Úhel ∠ B = β = 45,93438251762° = 45°56'2″ = 0,80216964874 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,47443425629° = 114°28'28″ = 1,99879541868 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,6522203231
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,37110281745
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,03297590851

Těžnice: t_a = 16,75655960801
Těžnice: t_b = 12,19663109177
Těžnice: t_c = 6,83773971656

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,33108639663
Poloměr opsané kružnice: R = 10,43878756739

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[4,86884210526; 5,03297590851]
Těžiště: T[7,95661403509; 1,67765863617]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -4,32442627792]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,33108639663]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,40881677391° = 160°24'29″ = 0,34219419795 rad
∠ B' = β' = 134,06661748238° = 134°3'58″ = 0,80216964874 rad
∠ C' = γ' = 65,52656574372° = 65°31'32″ = 1,99879541868 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 15 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 15 + 19 = 41

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 7) (20, 5 - 15) (20, 5 - 19) S = 2283, 19 = 47, 78

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 7 , 7 8}{7} = 13, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 7 , 7 8}{1 5} = 6, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 7 , 7 8}{1 9} = 5, 03

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 9}) = 19 ° 3 5^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 9}) = 45 ° 5 6^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 3 5^{'} 31 " - 45 ° 5 6^{'} 2 " = 114 ° 2 8^{'} 28 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 7 , 7 8}{2 0 , 5} = 2, 33

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 5 \cdot 1 9}{4 \cdot 2 , 3 3 1 \cdot 2 0 , 5} = 10, 44

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 16, 756 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 196 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 6, 837

Vypočítat další trojúhelník