Trojúhelník 7 16 22
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 16
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 33,66765635312
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Úhel ∠ A = α = 11,02879186667° = 11°1'41″ = 0,19224734904 rad
Úhel ∠ B = β = 25,92771561696° = 25°55'38″ = 0,45325142408 rad
Úhel ∠ C = γ = 143,04549251637° = 143°2'42″ = 2,49766049224 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,61990181518
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,20883204414
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,06105966847
Těžnice: ta = 18,91442803194
Těžnice: tb = 14,23302494708
Těžnice: tc = 5,61224860802
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,49662917125
Poloměr opsané kružnice: R = 18,29770857548
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[6,29554545455; 3,06105966847]
Těžiště: T[9,43218181818; 1,02201988949]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -14,62113319201]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,49662917125]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,97220813333° = 168°58'19″ = 0,19224734904 rad
∠ B' = β' = 154,07328438304° = 154°4'22″ = 0,45325142408 rad
∠ C' = γ' = 36,95550748363° = 36°57'18″ = 2,49766049224 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=16 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+16+22=45
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−7)(22,5−16)(22,5−22) S=1133,44=33,67
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 33,67=9,62 vb=b2 S=162⋅ 33,67=4,21 vc=c2 S=222⋅ 33,67=3,06
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 22162+222−72)=11°1′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2272+222−162)=25°55′38" γ=180°−α−β=180°−11°1′41"−25°55′38"=143°2′42"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=22,533,67=1,5
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,496⋅ 22,57⋅ 16⋅ 22=18,3
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 222−72=18,914 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 72−162=14,23 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 162−222=5,612
Vypočítat další trojúhelník