Trojúhelník 7 18 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 18
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 49,47772675074
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Úhel ∠ A = α = 13,82987435443° = 13°49'43″ = 0,24113571063 rad
Úhel ∠ B = β = 37,92546365774° = 37°55'29″ = 0,66219097759 rad
Úhel ∠ C = γ = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 2,23883257714 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,1366362145
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,49774741675
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,30223710876

Těžnice: t_a = 20,3533132437
Těžnice: t_b = 14,42222051019
Těžnice: t_c = 7,36554599313

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,06215528128
Poloměr opsané kružnice: R = 14,64330883616

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[5,52217391304; 4,30223710876]
Těžiště: T[9,50772463768; 1,43441236959]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -9,06547689857]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,06215528128]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,17112564557° = 166°10'17″ = 0,24113571063 rad
∠ B' = β' = 142,07553634227° = 142°4'31″ = 0,66219097759 rad
∠ C' = γ' = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 2,23883257714 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 18 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 18 + 23 = 48

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 7) (24 - 18) (24 - 23) S = 2448 = 49, 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 9 , 4 8}{7} = 14, 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 9 , 4 8}{1 8} = 5, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 9 , 4 8}{2 3} = 4, 3

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}) = 13 ° 4 9^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 3}) = 37 ° 5 5^{'} 29 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 4 9^{'} 43 " - 37 ° 5 5^{'} 29 " = 128 ° 1 4^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 9 , 4 8}{2 4} = 2, 06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 8 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 0 6 2 \cdot 2 4} = 14, 64

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 20, 353 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 14, 422 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 7, 365

Vypočítat další trojúhelník