Trojúhelník 7 19 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 19
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 59,47442591379
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 15,79548290504° = 15°47'41″ = 0,27656717717 rad
Úhel ∠ B = β = 47,63302014306° = 47°37'49″ = 0,83113038384 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,5754969519° = 116°34'30″ = 2,03546170435 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,9932645468
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,26604483303
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,17216747076

Těžnice: t_a = 20,80326440627
Těžnice: t_b = 14,09878721799
Těžnice: t_c = 8,52993610546

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,42875207811
Poloměr opsané kružnice: R = 12,85985040165

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[4,71773913043; 5,17216747076]
Těžiště: T[9,23991304348; 1,72438915692]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -5,75224886389]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,42875207811]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,20551709496° = 164°12'19″ = 0,27656717717 rad
∠ B' = β' = 132,37697985694° = 132°22'11″ = 0,83113038384 rad
∠ C' = γ' = 63,4255030481° = 63°25'30″ = 2,03546170435 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 19 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 19 + 23 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 7) (24, 5 - 19) (24, 5 - 23) S = 3537, 19 = 59, 47

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4 7}{7} = 16, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4 7}{1 9} = 6, 26 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4 7}{2 3} = 5, 17

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 3}) = 15 ° 4 7^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 3}) = 47 ° 3 7^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 4 7^{'} 41 " - 47 ° 3 7^{'} 49 " = 116 ° 3 4^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 9 , 4 7}{2 4 , 5} = 2, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 9 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 4 2 8 \cdot 2 4 , 5} = 12, 86

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 20, 803 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 14, 098 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 8, 529

Vypočítat další trojúhelník