Trojúhelník 7 20 20
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 20
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 68,92197903363
Obvod trojúhelníku: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5
Úhel ∠ A = α = 20,15773162156° = 20°9'26″ = 0,35218115363 rad
Úhel ∠ B = β = 79,92113418922° = 79°55'17″ = 1,39548905586 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,92113418922° = 79°55'17″ = 1,39548905586 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,69113686675
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,89219790336
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,89219790336
Těžnice: ta = 19,69113686675
Těžnice: tb = 11,15879568022
Těžnice: tc = 11,15879568022
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,93327570356
Poloměr opsané kružnice: R = 10,15767343224
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[1,225; 6,89219790336]
Těžiště: T[7,075; 2,29773263445]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 1,77774285064]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,93327570356]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,84326837844° = 159°50'34″ = 0,35218115363 rad
∠ B' = β' = 100,07986581078° = 100°4'43″ = 1,39548905586 rad
∠ C' = γ' = 100,07986581078° = 100°4'43″ = 1,39548905586 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=20 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+20+20=47
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=247=23,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23,5(23,5−7)(23,5−20)(23,5−20) S=4749,94=68,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 68,92=19,69 vb=b2 S=202⋅ 68,92=6,89 vc=c2 S=202⋅ 68,92=6,89
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 20202+202−72)=20°9′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2072+202−202)=79°55′17" γ=180°−α−β=180°−20°9′26"−79°55′17"=79°55′17"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=23,568,92=2,93
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,933⋅ 23,57⋅ 20⋅ 20=10,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 202−72=19,691 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 72−202=11,158 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 202−202=11,158
Vypočítat další trojúhelník