Trojúhelník 7 20 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 20
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 69,45109719154
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 18,40222461959° = 18°24'8″ = 0,32111797859 rad
Úhel ∠ B = β = 64,41769980226° = 64°25'1″ = 1,12442887097 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,8433134833
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,94550971915
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,31437247196

Těžnice: t_a = 20,73304124416
Těžnice: t_b = 12,90334879006
Těžnice: t_c = 10,17334949747

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,83547335476
Poloměr opsané kružnice: R = 11,08769578749

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[3,02327272727; 6,31437247196]
Těžiště: T[8,34109090909; 2,10545749065]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -1,38658697344]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,83547335476]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,59877538041° = 161°35'52″ = 0,32111797859 rad
∠ B' = β' = 115,58330019774° = 115°34'59″ = 1,12442887097 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 20 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 20 + 22 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 7) (24, 5 - 20) (24, 5 - 22) S = 4823, 44 = 69, 45

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 9 , 4 5}{7} = 19, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 9 , 4 5}{2 0} = 6, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 9 , 4 5}{2 2} = 6, 31

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 18 ° 2 4^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 2}) = 64 ° 2 5^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 2 4^{'} 8 " - 64 ° 2 5^{'} 1 " = 97 ° 1 0^{'} 51 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 9 , 4 5}{2 4 , 5} = 2, 83

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 2 , 8 3 5 \cdot 2 4 , 5} = 11, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 20, 73 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 903 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 10, 173

Vypočítat další trojúhelník