Trojúhelník 7 20 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 20
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 67,0822039325
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Úhel ∠ A = α = 16,95774262942° = 16°57'27″ = 0,29659629215 rad
Úhel ∠ B = β = 56,44110241068° = 56°26'28″ = 0,98550817039 rad
Úhel ∠ C = γ = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,86105480282 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,166629695
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,70882039325
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,83332208109

Těžnice: t_a = 21,26661703181
Těžnice: t_b = 13,74877270849
Těžnice: t_c = 9,60546863561

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,6833281573
Poloměr opsané kružnice: R = 122,0002314792

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[3,87695652174; 5,83332208109]
Těžiště: T[8,95765217391; 1,9444406937]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -3,42986375655]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,6833281573]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,04325737058° = 163°2'33″ = 0,29659629215 rad
∠ B' = β' = 123,55989758932° = 123°33'32″ = 0,98550817039 rad
∠ C' = γ' = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,86105480282 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 20 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 20 + 23 = 50

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 7) (25 - 20) (25 - 23) S = 4500 = 67, 08

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 0 8}{7} = 19, 17 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 0 8}{2 0} = 6, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 0 8}{2 3} = 5, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 3}) = 16 ° 5 7^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 3}) = 56 ° 2 6^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 5 7^{'} 27 " - 56 ° 2 6^{'} 28 " = 106 ° 3 6^{'} 6 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 0 8}{2 5} = 2, 68

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 6 8 3 \cdot 2 5} = 12

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 21, 266 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 748 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 9, 605

Vypočítat další trojúhelník