Trojúhelník 7 20 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 20
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 62,38553949254
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Úhel ∠ A = α = 15,06664512874° = 15°3'59″ = 0,26329591816 rad
Úhel ∠ B = β = 47,9660493671° = 47°57'38″ = 0,83770685254 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,97330550416° = 116°58'23″ = 2,04215649466 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,82443985501
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,23985394925
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,19987829105

Těžnice: t_a = 21,81216941112
Těžnice: t_b = 14,57773797371
Těžnice: t_c = 8,97221792225

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,44664860755
Poloměr opsané kružnice: R = 13,46546899487

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[4,68875; 5,19987829105]
Těžiště: T[9,56325; 1,73329276368]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -6,10771986553]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,44664860755]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,93435487126° = 164°56'1″ = 0,26329591816 rad
∠ B' = β' = 132,0439506329° = 132°2'22″ = 0,83770685254 rad
∠ C' = γ' = 63,02769449584° = 63°1'37″ = 2,04215649466 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 20 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 20 + 24 = 51

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 7) (25, 5 - 20) (25, 5 - 24) S = 3891, 94 = 62, 39

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 2 , 3 9}{7} = 17, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 2 , 3 9}{2 0} = 6, 24 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 2 , 3 9}{2 4} = 5, 2

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 4}) = 15 ° 3^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 4}) = 47 ° 5 7^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 3^{'} 59 " - 47 ° 5 7^{'} 38 " = 116 ° 5 8^{'} 23 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 2 , 3 9}{2 5 , 5} = 2, 45

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 4}{4 \cdot 2 , 4 4 6 \cdot 2 5 , 5} = 13, 46

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 21, 812 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 14, 577 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 8, 972

Vypočítat další trojúhelník