Trojúhelník 7 21 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 21
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 65,29330892208
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Úhel ∠ A = α = 14,40327028211° = 14°24'10″ = 0,25113745854 rad
Úhel ∠ B = β = 48,26328531992° = 48°15'46″ = 0,84223456947 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,33444439797° = 117°20'4″ = 2,04878723734 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,65551683488
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,21883894496
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,22334471377

Těžnice: t_a = 22,82199474145
Těžnice: t_b = 15,05882203464
Těžnice: t_c = 9,42107218407

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,46438901593
Poloměr opsané kružnice: R = 14,07111675763

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[4,66; 5,22334471377]
Těžiště: T[9,88766666667; 1,74111490459]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -6,46112504177]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,46438901593]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,59772971789° = 165°35'50″ = 0,25113745854 rad
∠ B' = β' = 131,73771468008° = 131°44'14″ = 0,84223456947 rad
∠ C' = γ' = 62,66655560203° = 62°39'56″ = 2,04878723734 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 21 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 21 + 25 = 53

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 7) (26, 5 - 21) (26, 5 - 25) S = 4263, 19 = 65, 29

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{7} = 18, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 1} = 6, 22 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 5} = 5, 22

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 14 ° 2 4^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 5}) = 48 ° 1 5^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 4^{'} 10 " - 48 ° 1 5^{'} 46 " = 117 ° 2 0^{'} 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 5 , 2 9}{2 6 , 5} = 2, 46

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 1 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 4 6 4 \cdot 2 6 , 5} = 14, 07

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 22, 82 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 15, 058 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 9, 421

Vypočítat další trojúhelník