Trojúhelník 7 22 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 22
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 73,48546922835
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Úhel ∠ A = α = 15,49987327566° = 15°29'55″ = 0,27105039165 rad
Úhel ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,38796168078° = 107°22'47″ = 1,87441278628 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,99656263667
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,68804265712
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,87987753827

Těžnice: t_a = 23,28662620444
Těžnice: t_b = 14,69769384567
Těžnice: t_c = 10,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,72216552698
Poloměr opsané kružnice: R = 13,09879659857

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[3,8; 5,87987753827]
Těžiště: T[9,6; 1,96595917942]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -3,91223794503]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,72216552698]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,50112672434° = 164°30'5″ = 0,27105039165 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 72,62203831922° = 72°37'13″ = 1,87441278628 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 22 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 22 + 25 = 54

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 7) (27 - 22) (27 - 25) S = 5400 = 73, 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 3 , 4 8}{7} = 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 3 , 4 8}{2 2} = 6, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 3 , 4 8}{2 5} = 5, 88

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 5}) = 15 ° 2 9^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 5}) = 57 ° 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 2 9^{'} 55 " - 57 ° 7^{'} 18 " = 107 ° 2 2^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 3 , 4 8}{2 7} = 2, 72

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 2 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 7 2 2 \cdot 2 7} = 13, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 23, 286 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 14, 697 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 10, 5

Vypočítat další trojúhelník