Trojúhelník 7 22 26

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 22
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 68,1987782222
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Úhel ∠ A = α = 13,79552993996° = 13°47'43″ = 0,24107733958 rad
Úhel ∠ B = β = 48,54106961042° = 48°32'27″ = 0,84771949682 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,66440044962° = 117°39'50″ = 2,05436242895 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,48550806349
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6.21997983838
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,24659832478

Těžnice: t_a = 23,82875051149
Těžnice: t_b = 15,54402702679
Těžnice: t_c = 9,87442088291

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,48799193535
Poloměr opsané kružnice: R = 14,67878966615

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[4,63546153846; 5,24659832478]
Těžiště: T[10,21215384615; 1,74986610826]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -6,81547377357]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,48799193535]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,20547006004° = 166°12'17″ = 0,24107733958 rad
∠ B' = β' = 131,45993038958° = 131°27'33″ = 0,84771949682 rad
∠ C' = γ' = 62,33659955038° = 62°20'10″ = 2,05436242895 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 22 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 22 + 26 = 55

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 7) (27, 5 - 22) (27, 5 - 26) S = 4650, 94 = 68, 2

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 , 2}{7} = 19, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 , 2}{2 2} = 6, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 , 2}{2 6} = 5, 25

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 6}) = 13 ° 4 7^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 6}) = 48 ° 3 2^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 4 7^{'} 43 " - 48 ° 3 2^{'} 27 " = 117 ° 3 9^{'} 50 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 , 2}{2 7 , 5} = 2, 48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 2 \cdot 2 6}{4 \cdot 2 , 4 8 \cdot 2 7 , 5} = 14, 68

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 23, 828 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 15, 54 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 9, 874

Vypočítat další trojúhelník