Trojúhelník 7 24 25

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 24
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 84
Obvod trojúhelníku: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28

Úhel ∠ A = α = 16,26602047083° = 16°15'37″ = 0,28437941092 rad
Úhel ∠ B = β = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,72

Těžnice: t_a = 24,25438656713
Těžnice: t_b = 13,89224439894
Těžnice: t_c = 12,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 3
Poloměr opsané kružnice: R = 12,5

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[1,96; 6,72]
Těžiště: T[8,98766666667; 2,24]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 3]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,74397952917° = 163°44'23″ = 0,28437941092 rad
∠ B' = β' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 24 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 6}{2} = 28

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28 (28 - 7) (28 - 24) (28 - 25) S = 7056 = 84

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 4}{7} = 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 4}{2 4} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 4}{2 5} = 6, 72

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}) = 16 ° 1 5^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 5}) = 73 ° 4 4^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 1 5^{'} 37 " - 73 ° 4 4^{'} 23 " = 90 °

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 4}{2 8} = 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 4 \cdot 2 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 8} = 12, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 24, 254 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 13, 892 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 12, 5

Vypočítat další trojúhelník