Trojúhelník 7 29 29

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 29
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 100,75880641934
Obvod trojúhelníku: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Úhel ∠ A = α = 13,86438123952° = 13°51'50″ = 0,24219691732 rad
Úhel ∠ B = β = 83,06880938024° = 83°4'5″ = 1,45498117402 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,06880938024° = 83°4'5″ = 1,45498117402 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 28,7888018341
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,94988320133
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,94988320133

Těžnice: t_a = 28,7888018341
Těžnice: t_b = 15,3221553446
Těžnice: t_c = 15,3221553446

Poloměr vepsané kružnice: r = 3.1100248129
Poloměr opsané kružnice: R = 14,6076771297

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[0,84548275862; 6,94988320133]
Těžiště: T[9,94882758621; 2,31662773378]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 1,7632886191]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 3.1100248129]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,13661876048° = 166°8'10″ = 0,24219691732 rad
∠ B' = β' = 96,93219061976° = 96°55'55″ = 1,45498117402 rad
∠ C' = γ' = 96,93219061976° = 96°55'55″ = 1,45498117402 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 29 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 29 + 29 = 65

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 7) (32, 5 - 29) (32, 5 - 29) S = 10152, 19 = 100, 76

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 0 , 7 6}{7} = 28, 79 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 0 , 7 6}{2 9} = 6, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 0 , 7 6}{2 9} = 6, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 9 \cdot 2 9}) = 13 ° 5 1^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 9}) = 83 ° 4^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 5 1^{'} 50 " - 83 ° 4^{'} 5 " = 83 ° 4^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 0 , 7 6}{3 2 , 5} = 3, 1

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 9 \cdot 2 9}{4 \cdot 3 , 1 \cdot 3 2 , 5} = 14, 61

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 28, 788 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 15, 322 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 15, 322

Vypočítat další trojúhelník