Trojúhelník 7 8 8




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 8
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 25,17881154974
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 51,88989595447° = 51°53'20″ = 0,90656331895 rad
Úhel ∠ B = β = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Úhel ∠ C = γ = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,1943747285
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,29545288743
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,29545288743

Těžnice: ta = 7,1943747285
Těžnice: tb = 6,36439610307
Těžnice: tc = 6,36439610307

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,18994013476
Poloměr opsané kružnice: R = 4,44883074999

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[3,06325; 6,29545288743]
Těžiště: T[3,68875; 2,09881762914]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; 1,94661345312]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,18994013476]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,11110404553° = 128°6'40″ = 0,90656331895 rad
∠ B' = β' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
∠ C' = γ' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=8 c=8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=7+8+8=23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=232=11,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 23 }{ 2 } = 11{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−7)(11,5−8)(11,5−8) S=11,5⋅ 4,5⋅ 3,5⋅ 3,5 S=633,94=25,178S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5(11{,}5-7)(11{,}5-8)(11{,}5-8) } \ \\ S = \sqrt{ 11{,}5 \cdot \ 4{,}5 \cdot \ 3{,}5 \cdot \ 3{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 633{,}94 } = 25{,}178

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 25,1787=7,194 vb=2 Sb=2⋅ 25,1788=6,295 vc=2 Sc=2⋅ 25,1788=6,295S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 25{,}178 }{ 7 } = 7{,}194 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 25{,}178 }{ 8 } = 6{,}295 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 25{,}178 }{ 8 } = 6{,}295

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 882+82−72​)=51°53′20"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 7⋅ 872+82−82​)=64°3′20" γ=180°−α−β=180°−51°53′20"−64°3′20"=64°3′20"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=25,17811,5=2,189S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 25{,}178 }{ 11{,}5 } = 2{,}189

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=7⋅ 8⋅ 84⋅ 2,189⋅ 11,5=4,448R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 7 \cdot \ 8 \cdot \ 8 }{ 4 \cdot \ 2{,}189 \cdot \ 11{,}5 } = 4{,}448

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 82+2⋅ 82−722=7,194 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 82+2⋅ 72−822=6,364 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 72+2⋅ 82−822=6,364t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 8^2 - 7^2 } }{ 2 } = 7{,}194 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 7^2 - 8^2 } }{ 2 } = 6{,}364 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 8^2 - 8^2 } }{ 2 } = 6{,}364

Vypočítat další trojúhelník