Trojúhelník 70 50 80

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 70
b = 50
c = 80

Obsah trojúhelníku: S = 1732,05108075689
Obvod trojúhelníku: o = 200
Semiperimeter (poloobvod): s = 100

Úhel ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 49,48771659305
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 69,28220323028
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 43,30112701892

Těžnice: t_a = 56,7899083458
Těžnice: t_b = 70,88772343938
Těžnice: t_c = 45,82657569496

Poloměr vepsané kružnice: r = 17,32105080757
Poloměr opsané kružnice: R = 40,41545188433

Souřadnice vrcholů: A[80; 0] B[0; 0] C[55; 43,30112701892]
Těžiště: T[45; 14,43437567297]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[40; 5,77435026919]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[50; 17,32105080757]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 70 b = 50 c = 80

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 70 + 50 + 80 = 200

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 0}{2} = 100

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 100 (100 - 70) (100 - 50) (100 - 80) S = 3000000 = 1732, 05

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 3 2 , 0 5}{7 0} = 49, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 3 2 , 0 5}{5 0} = 69, 28 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 3 2 , 0 5}{8 0} = 43, 3

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2 \cdot 5 0 \cdot 8 0}) = 60 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2 \cdot 7 0 \cdot 8 0}) = 38 ° 1 2^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° - 38 ° 1 2^{'} 48 " = 81 ° 4 7^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 3 2 , 0 5}{1 0 0} = 17, 32

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 0 \cdot 5 0 \cdot 8 0}{4 \cdot 1 7 , 3 2 1 \cdot 1 0 0} = 40, 41

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 8 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2} = 56, 789 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 0 ^{2} + 2 \cdot 7 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 70, 887 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2} = 45, 826

Vypočítat další trojúhelník