Trojúhelník 8 10 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 10
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 39,6866269666
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,92215674165
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,93772539332
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,61443782777

Těžnice: t_a = 10,2965630141
Těžnice: t_b = 8,88881944173
Těžnice: t_c = 6,78223299831

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,64657513111
Poloměr opsané kružnice: R = 6,04774315681

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[4,5; 6,61443782777]
Těžiště: T[5,5; 2,20547927592]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,7565928946]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,64657513111]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 10 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 10 + 12 = 30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 8) (15 - 10) (15 - 12) S = 1575 = 39, 69

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 9 , 6 9}{8} = 9, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 9 , 6 9}{1 0} = 7, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 9 , 6 9}{1 2} = 6, 61

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 41 ° 2 4^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 55 ° 4 6^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 4^{'} 35 " - 55 ° 4 6^{'} 16 " = 82 ° 4 9^{'} 9 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 9 , 6 9}{1 5} = 2, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 0 \cdot 1 2}{4 \cdot 2 , 6 4 6 \cdot 1 5} = 6, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 296 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 8, 888 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 6, 782

Vypočítat další trojúhelník