Trojúhelník 8 10 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 10
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 36,97988791069
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Úhel ∠ A = α = 29,54113605001° = 29°32'29″ = 0,51655940062 rad
Úhel ∠ B = β = 38,04875074536° = 38°2'51″ = 0,66440542772 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,41111320462° = 112°24'40″ = 1,96219443701 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,24547197767
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,39657758214
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,93105172142
Těžnice: ta = 12,10437184369
Těžnice: tb = 10,93216055545
Těžnice: tc = 5,07444457825
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,24111441883
Poloměr opsané kružnice: R = 8,11327391431
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,3; 4,93105172142]
Těžiště: T[7,1; 1,64435057381]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -3,09329817983]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,24111441883]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,45986394999° = 150°27'31″ = 0,51655940062 rad
∠ B' = β' = 141,95224925464° = 141°57'9″ = 0,66440542772 rad
∠ C' = γ' = 67,58988679538° = 67°35'20″ = 1,96219443701 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=10 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+10+15=33
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−8)(16,5−10)(16,5−15) S=1367,44=36,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 36,98=9,24 vb=b2 S=102⋅ 36,98=7,4 vc=c2 S=152⋅ 36,98=4,93
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−82)=29°32′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−102)=38°2′51" γ=180°−α−β=180°−29°32′29"−38°2′51"=112°24′40"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=16,536,98=2,24
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,241⋅ 16,58⋅ 10⋅ 15=8,11
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 152−82=12,104 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−102=10,932 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 102−152=5,074
Vypočítat další trojúhelník