Trojúhelník 8 10 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 10
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 24,96987304443
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Úhel ∠ A = α = 17,08325832434° = 17°4'57″ = 0,29881473223 rad
Úhel ∠ B = β = 21,54222496296° = 21°32'32″ = 0,37659831843 rad
Úhel ∠ C = γ = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 2,46774621469 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,24221826111
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,99437460889
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,93774976993

Těžnice: t_a = 13,36603892159
Těžnice: t_b = 12,30985336251
Těžnice: t_c = 3,12224989992

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,42767845968
Poloměr opsané kružnice: R = 13,61770319416

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[7,44111764706; 2,93774976993]
Těžiště: T[8,14770588235; 0,97991658998]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -10,63883062043]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 1,42767845968]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,91774167566° = 162°55'3″ = 0,29881473223 rad
∠ B' = β' = 158,45877503704° = 158°27'28″ = 0,37659831843 rad
∠ C' = γ' = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 2,46774621469 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 10 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 10 + 17 = 35

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 8) (17, 5 - 10) (17, 5 - 17) S = 623, 44 = 24, 97

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 7}{8} = 6, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 7}{1 0} = 4, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 7}{1 7} = 2, 94

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 17 ° 4^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 7}) = 21 ° 3 2^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 4^{'} 57 " - 21 ° 3 2^{'} 32 " = 141 ° 2 2^{'} 31 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 9 7}{1 7 , 5} = 1, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 0 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 4 2 7 \cdot 1 7 , 5} = 13, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 13, 36 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 12, 309 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 3, 122

Vypočítat další trojúhelník