Trojúhelník 8 11 13

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 11
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 43,81878046004
Obvod trojúhelníku: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16

Úhel ∠ A = α = 37,79548789633° = 37°47'42″ = 0,66596450783 rad
Úhel ∠ B = β = 57,42110296072° = 57°25'16″ = 1,00221860265 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,78440914295° = 84°47'3″ = 1,48797615488 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,95444511501
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,96768735637
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,74112007078

Těžnice: t_a = 11,35878166916
Těžnice: t_b = 9,28770878105
Těžnice: t_c = 7,08987234394

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,73986127875
Poloměr opsané kružnice: R = 6,52770271436

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[4,30876923077; 6,74112007078]
Těžiště: T[5,76992307692; 2,24770669026]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 0,5933366104]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,73986127875]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,20551210367° = 142°12'18″ = 0,66596450783 rad
∠ B' = β' = 122,57989703928° = 122°34'44″ = 1,00221860265 rad
∠ C' = γ' = 95,21659085705° = 95°12'57″ = 1,48797615488 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 11 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 11 + 13 = 32

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 2}{2} = 16

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16 (16 - 8) (16 - 11) (16 - 13) S = 1920 = 43, 82

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2}{8} = 10, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2}{1 1} = 7, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2}{1 3} = 6, 74

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 37 ° 4 7^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 3}) = 57 ° 2 5^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 4 7^{'} 42 " - 57 ° 2 5^{'} 16 " = 84 ° 4 7^{'} 3 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 8 2}{1 6} = 2, 74

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 7 3 9 \cdot 1 6} = 6, 53

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 11, 358 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 287 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 089

Vypočítat další trojúhelník