Trojúhelník 8 11 14
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 11
c = 14
Obsah trojúhelníku: S = 43,91439784123
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Úhel ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Úhel ∠ B = β = 51,64547342696° = 51°38'41″ = 0,90113706543 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,58333216985° = 93°35' = 1,63333370886 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,97884946031
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,98443597113
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,27334254875
Těžnice: ta = 11,93773363863
Těžnice: tb = 9,98774921777
Těžnice: tc = 6,59554529791
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,66114532371
Poloměr opsané kružnice: R = 7,01437120602
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[4,96442857143; 6,27334254875]
Těžiště: T[6,32114285714; 2,09111418292]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -0,43883570038]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,66114532371]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 128,35552657304° = 128°21'19″ = 0,90113706543 rad
∠ C' = γ' = 86,41766783015° = 86°25' = 1,63333370886 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=11 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+11+14=33
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−8)(16,5−11)(16,5−14) S=1928,44=43,91
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 43,91=10,98 vb=b2 S=112⋅ 43,91=7,98 vc=c2 S=142⋅ 43,91=6,27
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 14112+142−82)=34°46′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1482+142−112)=51°38′41" γ=180°−α−β=180°−34°46′19"−51°38′41"=93°35′
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=16,543,91=2,66
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,661⋅ 16,58⋅ 11⋅ 14=7,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 142−82=11,937 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 82−112=9,987 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−142=6,595
Vypočítat další trojúhelník