Trojúhelník 8 11 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 11
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 42,84985705713
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Úhel ∠ A = α = 31,29904452139° = 31°17'26″ = 0,54661212934 rad
Úhel ∠ B = β = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Úhel ∠ C = γ = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1.880007253 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,71221426428
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,79106491948
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,71331427428
Těžnice: ta = 12,53299640861
Těžnice: tb = 10,68987791632
Těžnice: tc = 6,02107972894
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,52105041513
Poloměr opsané kružnice: R = 7,70215404622
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5,6; 5,71331427428]
Těžiště: T[6,86766666667; 1,90443809143]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -1,7550350105]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,52105041513]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,71095547861° = 148°42'34″ = 0,54661212934 rad
∠ B' = β' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ C' = γ' = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1.880007253 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=11 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+11+15=34
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−8)(17−11)(17−15) S=1836=42,85
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 42,85=10,71 vb=b2 S=112⋅ 42,85=7,79 vc=c2 S=152⋅ 42,85=5,71
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−82)=31°17′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−112)=45°34′23" γ=180°−α−β=180°−31°17′26"−45°34′23"=103°8′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1742,85=2,52
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,521⋅ 178⋅ 11⋅ 15=7,7
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 152−82=12,53 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−112=10,689 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−152=6,021
Vypočítat další trojúhelník