Trojúhelník 8 11 16
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 11
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 40,26108680979
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Úhel ∠ A = α = 27,227653999° = 27°13'36″ = 0,47551927668 rad
Úhel ∠ B = β = 38,98219890646° = 38°58'55″ = 0,68803640582 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,79114709455° = 113°47'29″ = 1,98660358287 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,06552170245
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,3220157836
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,03326085122
Těžnice: ta = 13,13439255366
Těžnice: tb = 11,39107857499
Těžnice: tc = 5,3398539126
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,30106210342
Poloměr opsané kružnice: R = 8,74329808802
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[6,219875; 5,03326085122]
Těžiště: T[7,406625; 1,67875361707]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -3,52769979687]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,30106210342]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 152,773346001° = 152°46'24″ = 0,47551927668 rad
∠ B' = β' = 141,01880109354° = 141°1'5″ = 0,68803640582 rad
∠ C' = γ' = 66,20985290545° = 66°12'31″ = 1,98660358287 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=11 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+11+16=35
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−8)(17,5−11)(17,5−16) S=1620,94=40,26
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 40,26=10,07 vb=b2 S=112⋅ 40,26=7,32 vc=c2 S=162⋅ 40,26=5,03
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 16112+162−82)=27°13′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1682+162−112)=38°58′55" γ=180°−α−β=180°−27°13′36"−38°58′55"=113°47′29"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,540,26=2,3
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,301⋅ 17,58⋅ 11⋅ 16=8,74
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 162−82=13,134 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 82−112=11,391 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−162=5,339
Vypočítat další trojúhelník