Trojúhelník 8 11 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 11
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 35,49664786986
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Úhel ∠ A = α = 22,31114770869° = 22°18'41″ = 0,38994087361 rad
Úhel ∠ B = β = 31,46769762933° = 31°28'1″ = 0,5499202342 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,87441196746
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,45439052179
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,17660563175

Těžnice: t_a = 13,74877270849
Těžnice: t_b = 12,09333866224
Těžnice: t_c = 4,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,97220265944
Poloměr opsané kružnice: R = 10,53662563756

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[6,82435294118; 4,17660563175]
Těžiště: T[7,94111764706; 1,39220187725]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -6,22659696765]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 1,97220265944]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,68985229131° = 157°41'19″ = 0,38994087361 rad
∠ B' = β' = 148,53330237067° = 148°31'59″ = 0,5499202342 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 11 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 11 + 17 = 36

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6}{2} = 18

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18 (18 - 8) (18 - 11) (18 - 17) S = 1260 = 35, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{8} = 8, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{1 1} = 6, 45 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{1 7} = 4, 18

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 7}) = 22 ° 1 8^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 7}) = 31 ° 2 8^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 8^{'} 41 " - 31 ° 2 8^{'} 1 " = 126 ° 1 3^{'} 18 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 5}{1 8} = 1, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 1 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 9 7 2 \cdot 1 8} = 10, 54

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 13, 748 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 12, 093 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 4, 5

Vypočítat další trojúhelník