Trojúhelník 8 12 15
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 12
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 47,81114787473
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Úhel ∠ A = α = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Úhel ∠ B = β = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 0,92220766485 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,08797157927° = 95°4'47″ = 1,65994540924 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,95328696868
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,96985797912
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,3754863833
Těžnice: ta = 12,98107549857
Těžnice: tb = 10,4166333328
Těžnice: tc = 6,91101374805
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,73220844998
Poloměr opsané kružnice: R = 7,53295725929
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4,83333333333; 6,3754863833]
Těžiště: T[6,61111111111; 2,1254954611]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -0,66766809067]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,73220844998]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
∠ B' = β' = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 0,92220766485 rad
∠ C' = γ' = 84,92202842073° = 84°55'13″ = 1,65994540924 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=12 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+12+15=35
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−8)(17,5−12)(17,5−15) S=2285,94=47,81
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 47,81=11,95 vb=b2 S=122⋅ 47,81=7,97 vc=c2 S=152⋅ 47,81=6,37
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−82)=32°5′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−122)=52°49′52" γ=180°−α−β=180°−32°5′21"−52°49′52"=95°4′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,547,81=2,73
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,732⋅ 17,58⋅ 12⋅ 15=7,53
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−82=12,981 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−122=10,416 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 122−152=6,91
Vypočítat další trojúhelník