Trojúhelník 8 12 18

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 12
c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 38,24991829978
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Úhel ∠ A = α = 20,74219164807° = 20°44'31″ = 0,36220147358 rad
Úhel ∠ B = β = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Úhel ∠ C = γ = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 2,22195160051 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,56222957495
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,3754863833
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,2549909222

Těžnice: t_a = 14,76548230602
Těžnice: t_b = 12,576980509
Těžnice: t_c = 4,79658315233

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,01331148946
Poloměr opsané kružnice: R = 11,29443588893

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[6,77877777778; 4,2549909222]
Těžiště: T[8,25992592593; 1,41766364073]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -6,82436751623]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,01331148946]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,25880835193° = 159°15'29″ = 0,36220147358 rad
∠ B' = β' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
∠ C' = γ' = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 2,22195160051 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 12 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 12 + 18 = 38

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 8) (19 - 12) (19 - 18) S = 1463 = 38, 25

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 , 2 5}{8} = 9, 56 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 , 2 5}{1 2} = 6, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 , 2 5}{1 8} = 4, 25

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 8}) = 20 ° 4 4^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 8}) = 32 ° 5^{'} 21 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 4 4^{'} 31 " - 32 ° 5^{'} 21 " = 127 ° 1 0^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 , 2 5}{1 9} = 2, 01

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 2 \cdot 1 8}{4 \cdot 2 , 0 1 3 \cdot 1 9} = 11, 29

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 14, 765 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 12, 57 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 4, 796

Vypočítat další trojúhelník