Trojúhelník 8 12 19
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 12
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 28,99989223938
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Úhel ∠ A = α = 14,73766437225° = 14°44'12″ = 0,25772029537 rad
Úhel ∠ B = β = 22,43106417388° = 22°25'50″ = 0,39114885517 rad
Úhel ∠ C = γ = 142,83327145387° = 142°49'58″ = 2,49329011483 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,25497305984
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,83331537323
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,05325181467
Těžnice: ta = 15,37985564992
Těžnice: tb = 13,28553302556
Těžnice: tc = 3,70880992435
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,48771242253
Poloměr opsané kružnice: R = 15,72547222434
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[7,39547368421; 3,05325181467]
Těžiště: T[8,7988245614; 1,01875060489]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -12,53106380377]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 1,48771242253]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,26333562775° = 165°15'48″ = 0,25772029537 rad
∠ B' = β' = 157,56993582612° = 157°34'10″ = 0,39114885517 rad
∠ C' = γ' = 37,16772854613° = 37°10'2″ = 2,49329011483 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=12 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+12+19=39
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−8)(19,5−12)(19,5−19) S=840,94=29
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 29=7,25 vb=b2 S=122⋅ 29=4,83 vc=c2 S=192⋅ 29=3,05
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 19122+192−82)=14°44′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1982+192−122)=22°25′50" γ=180°−α−β=180°−14°44′12"−22°25′50"=142°49′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,529=1,49
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,487⋅ 19,58⋅ 12⋅ 19=15,72
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 192−82=15,379 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 82−122=13,285 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 122−192=3,708
Vypočítat další trojúhelník