Trojúhelník 8 13 15
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 13
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 51,96215242271
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Úhel ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Úhel ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,7965772496° = 87°47'45″ = 1,53223252994 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,99903810568
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,99440806503
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,92882032303
Těžnice: ta = 13,45436240471
Těžnice: tb = 10,11218742081
Těžnice: tc = 7,76220873481
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,88767513459
Poloměr opsané kružnice: R = 7,50655534995
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4; 6,92882032303]
Těžiště: T[6,33333333333; 2,30994010768]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 0,28986751346]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,88767513459]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 92,2044227504° = 92°12'15″ = 1,53223252994 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=13 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+13+15=36
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−8)(18−13)(18−15) S=2700=51,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 51,96=12,99 vb=b2 S=132⋅ 51,96=7,99 vc=c2 S=152⋅ 51,96=6,93
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−82)=32°12′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−132)=60° γ=180°−α−β=180°−32°12′15"−60°=87°47′45"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1851,96=2,89
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,887⋅ 188⋅ 13⋅ 15=7,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−82=13,454 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−132=10,112 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 132−152=7,762
Vypočítat další trojúhelník