Trojúhelník 8 13 16
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 13
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 51,68111135716
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Úhel ∠ A = α = 29,7977347297° = 29°47'50″ = 0,52200618187 rad
Úhel ∠ B = β = 53,85440789884° = 53°51'15″ = 0,9439930994 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,34985737146° = 96°20'55″ = 1,68215998409 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,92202783929
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,95109405495
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,46601391964
Těžnice: ta = 14,01878457689
Těžnice: tb = 10,85112672071
Těžnice: tc = 7,24656883731
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,79435737066
Poloměr opsané kružnice: R = 8,04993621606
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[4,719875; 6,46601391964]
Těžiště: T[6,906625; 2,15333797321]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -0,89900737004]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,79435737066]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,2032652703° = 150°12'10″ = 0,52200618187 rad
∠ B' = β' = 126,14659210116° = 126°8'45″ = 0,9439930994 rad
∠ C' = γ' = 83,65114262854° = 83°39'5″ = 1,68215998409 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=13 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+13+16=37
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−8)(18,5−13)(18,5−16) S=2670,94=51,68
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 51,68=12,92 vb=b2 S=132⋅ 51,68=7,95 vc=c2 S=162⋅ 51,68=6,46
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 16132+162−82)=29°47′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1682+162−132)=53°51′15" γ=180°−α−β=180°−29°47′50"−53°51′15"=96°20′55"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=18,551,68=2,79
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,794⋅ 18,58⋅ 13⋅ 16=8,05
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 162−82=14,018 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 82−132=10,851 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 132−162=7,246
Vypočítat další trojúhelník