Trojúhelník 8 13 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 13
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 50,08799361022
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Úhel ∠ A = α = 26,95499559276° = 26°57' = 0,47703654642 rad
Úhel ∠ B = β = 47,43215457967° = 47°25'54″ = 0,82878366435 rad
Úhel ∠ C = γ = 105,61884982757° = 105°37'7″ = 1,84333905459 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,52199840255
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,70546055542
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,89217571885

Těžnice: t_a = 14,59545195193
Těžnice: t_b = 11,58766302263
Těžnice: t_c = 6,65220673478

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,63657861106
Poloměr opsané kružnice: R = 8,82658898553

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[5,41217647059; 5,89217571885]
Těžiště: T[7,47105882353; 1,96439190628]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -2,37662011149]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 2,63657861106]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,05500440724° = 153°3' = 0,47703654642 rad
∠ B' = β' = 132,56884542033° = 132°34'6″ = 0,82878366435 rad
∠ C' = γ' = 74,38215017244° = 74°22'53″ = 1,84333905459 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 13 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 13 + 17 = 38

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 8) (19 - 13) (19 - 17) S = 2508 = 50, 08

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 0 , 0 8}{8} = 12, 52 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 0 , 0 8}{1 3} = 7, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 0 , 0 8}{1 7} = 5, 89

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 7}) = 26 ° 5 7^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 7}) = 47 ° 2 5^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 5 7^{'} - 47 ° 2 5^{'} 54 " = 105 ° 3 7^{'} 7 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 0 , 0 8}{1 9} = 2, 64

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 3 \cdot 1 7}{4 \cdot 2 , 6 3 6 \cdot 1 9} = 8, 83

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 14, 595 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 587 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 6, 652

Vypočítat další trojúhelník