Trojúhelník 8 13 19

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 13
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 40,98878030638
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Úhel ∠ A = α = 19,38332300516° = 19°23' = 0,33883011841 rad
Úhel ∠ B = β = 32,63768975036° = 32°38'13″ = 0,57696213191 rad
Úhel ∠ C = γ = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 2,23436701504 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,2476950766
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,3065815856
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,31545055857

Těžnice: t_a = 15,78797338381
Těžnice: t_b = 13,04879883507
Těžnice: t_c = 5,1233475383

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,04993901532
Poloměr opsané kružnice: R = 12,05223659009

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[6,73768421053; 4,31545055857]
Těžiště: T[8,57989473684; 1,43881685286]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -7,41768405544]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 2,04993901532]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,61767699484° = 160°37' = 0,33883011841 rad
∠ B' = β' = 147,36331024965° = 147°21'47″ = 0,57696213191 rad
∠ C' = γ' = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 2,23436701504 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 13 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 13 + 19 = 40

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 8) (20 - 13) (20 - 19) S = 1680 = 40, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 9}{8} = 10, 25 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 9}{1 3} = 6, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 9}{1 9} = 4, 31

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 9}) = 19 ° 2 3^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 9}) = 32 ° 3 8^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 2 3^{'} - 32 ° 3 8^{'} 13 " = 127 ° 5 8^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 9 9}{2 0} = 2, 05

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 3 \cdot 1 9}{4 \cdot 2 , 0 4 9 \cdot 2 0} = 12, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 15, 78 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 13, 048 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 5, 123

Vypočítat další trojúhelník